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Econometria em divertidos Diagramas de Venn! (Parte2)

maio 27, 2013

Continuando nossa brincadeira… Veremos hoje como ilustrar multicolinearidade e omissão de variável relevante em diagramas de Venn.

Diagrama 3: Multicolinearidade

Aqui os efeitos da alta colinearidade foram discutidos.

diagrama 3

Interpretações de Kennedy sobre o terceiro diagrama:

(i) alta colinearidade causa viés? Não. As áreas azuis e verdes continuam a corresponder às variações de y exclusivamente atribuíveis a X e W, respectivamente.

(ii) alta colinearidade aumenta/diminui a variância dos estimadores (hat{beta}_{X} e hat{beta}_{W})? Aumenta. Como a área azul é reduzida, menos informação é utilizada para estimar hat{beta}_{X} e hat{beta}_{W}, e assim as variâncias de ambos os estimadores são maiores.

(iii) e se houver colinearidade perfeita? As áreas azul e verde desaparecem e a estimativa de MQO é impossível (de fato, lembrando do estimador de MQO em formato matricial, hat{beta}=(X'X)^{-1}X'Y, sob colinearidade perfeita a matriz X'X não é invertível).

Diagrama 4: Omissão de Variável Relevante

Aqui os efeitos da omissão da variável explicativa W (por esquecimento ou por falta de dados) foram discutidos.

diagrama 4

Interpretações de Kennedy sobre o quarto diagrama:

(a) caso em que X é correlacionado com W:

  • causa viés? Sim. Se W é omitido, MQO utilizaria a área azul mais a área vermelha para estimar beta_{X}, e por isso a estimativa estaria claramente viesada – lembre-se que a zona vermelha contém informações “contaminadas”.
  • aumenta/diminui a variância dos estimadores? Diminui. Como as informações das áreas azul e vermelho são usadas (em vez de apenas a informação de área azul), mais informações estão sendo usadas, de modo que a variância de hat{beta}_{X} deve ser menor.
  • aumenta/diminui a variância do erro? Aumenta. Ao omitir W, a área amarela (que representa a magnitude da estimativa de sigma^2) fica maior, agregando também a área verde.

(b) caso em que X não é correlacionado (e portanto ortogonal) com W:

  • causa viés? Não. Quando os círculos X e W não se interseccionam (ié, são ortogonais), não há nenhuma área vermelha, de modo que a omissão de uma variável relevante não criará viés.
  • aumenta/diminui a variância dos estimadores? Nada ocorre. Neste caso o estimador hat{beta}_{X} continua a usar apenas a informação azul, de modo que a variância de hat{beta}_{X} não é afetada.
  • aumenta/diminui a variância do erro? Aumenta. Mesmo se forem variáveis ortogonais, ao omitir W, a área amarela fica maior, agregando também a área verde.

Bom, é isso. Há muitas outras aplicações de Venn em econometria feitas por Kennedy em seus artigos e em seu livro. Podemos prosear sobre elas em próximos posts.

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